Newton力学・特殊相対論・一般相対論の違いが分かりやすいように表にしてみた

大学に入ってから何度となく相対性理論の勉強に取り組んでは、その難易度に跳ね返されをかれこれ数回繰り返しています。

ちょっとずつでもトライするたびにちょっとずつでも進んでいかなければなと思い、Newton力学、特殊相対論、一般相対論でそれぞれ違くなる部分をわかりやすいように表形式でまとめてみました。

Newton力学・特殊相対論・一般相対論の対応表

物理学というのは、新しい理論が出たとしても、それは過去の理論を否定するのではなく、包括しなければいけません。

そういった意味で、下の表も極論を言ってしまえば(一部解釈を除き)「一般相対論」の部分に書かれていることが、左がわのニュートン力学と特殊相対論を含んいることになります。

ただそれぞれの適応範囲で、普通はこんなふうに書かれているよとういのをピックアップしました。なるべくテンソルは使わないようにしています。

ちょっと見づらいですがご勘弁。スマホだと横スクロールしてしまってるかも^^;。

	Newton力学	特殊相対論	一般相対論
1. 基礎方程式	$m \frac{d^{2}x}{dt^{2}}=F$	$m \frac{d^{2}x}{d\tau^{2}}=F$	$G_{\mu \nu}=\frac{8 \pi G}{c^{4}}T_{\mu \nu}$
2. 基礎原理	１.慣性の法則２.運動方程式３.作用・反作用の法則	１.光速度不変の原理２.特殊相対性原理	１.等価原理２.一般相対性原理
3. 座標変換	ガリレイ変換	(大局的)ローレンツ変換	(局所的)ローレンツ変換
4. 座標変換(式)	$x'=x-vt$ $t'=t$	$x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ $t'=\frac{t-\frac{vx}{c^{2}}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$	$dx'^{\mu}=\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\nu}}dx^{\nu}$
5. 質量とエネルギーの関係	「質量保存の法則」・「エネルギー保存則」と別々で保存される	質量とエネルギーは等価であり、 $E=mc^{2}$ で両者は結ばれる。「エネルギー+質量」と、合計で保存される	特殊相対論と同じだが、質量よりもエネルギーとして考え、そのエネルギー(と運動量)が時空を歪めると考える
6. 重力の解釈	質量があるものは重力を生み出す。その重力は、どれだけ離れていようと一瞬で伝わる	他の力と重力は完全に区別される。重力は光速を超えて伝わることはできないよな？(特殊相対論では重力は扱えないので分からない)	質量とエネルギーは等価である(ここまでは特殊)。エネルギーや運動量のあるものは、時空を歪める。つまり重力は幾何学的な問題であり、本質ではなくなる。
7. 時空間	ユークリッド空間 (曲がってない)	ミンコフスキー時空 (曲がってない)	リーマン時空 (曲がってる)
8. 計量テンソル $g_{\mu\nu}$	(普通は書かないが、あえて書くとすれば、直交座標系で)対角成分がすべて１の３×３の対角行列	時間成分のみが-1で、それ以外がすべて１の４×４の対角行列	４×４の全ての成分が入る。行列を入れ替えても同じ行列になるため、独立成分は10個
9. ２点間の微小距離を表す式	$dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$	$-c^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$	$g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$
10. 直線の軌道を表す方程式	$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=0$	$\frac{d^{2}x}{d\tau^{2}}=0$	$\frac{d^{2}x^{\lambda}}{d\tau^{2}}+\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\frac{dx^{\nu}}{d\tau}=0$
11. 微分	$\nabla_{\mu}a_{\nu}=\frac{\partial a_{\nu}}{\partial x^{\mu}}$	$\nabla_{\mu}a_{\nu}=\frac{\partial a_{\nu}}{\partial x^{\mu}}$	$\nabla_{\mu}a_{\nu}=\frac{\partial a_{\nu}}{\partial x^{\mu}}-\Gamma^{t}_{\nu\mu}a_{t}$ (共変微分)